1/cosx 積分 Log

October 05, 2022

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$\begin{aligned} &\mathbf{Qn.}\mathscr{I}=\int_0^{\pi/4}\frac{\log(\sin(x))\log(\cos(x))}{\sin(x)\cos(x)}\text{d}x\cr &\mathbf{Sol.} \text{Use the change of variables }\log(\cos(x))\mapsto t \text{ to transform the integral to}:\cr &\kern{40pt}\mathscr{I}=\int_0^{\pi/4}\frac{\log(\sin(x))\log(\cos(x))}{\sin(x)\cos(x)}\text{d}x=\int_{-\log(2)/2}^0\frac{t \log \left(1-e^{2 t}\right)}{2 \left(1-e^{2 t}\right)}\text{d}t\cr &\text{Follow it by another change of variables }1-e^{2t}\mapsto z\text{ gives}\cr &\kern{40pt}\mathscr{I}=\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{\log (1-z) \log (z)}{8 (1-z) z}\text{d}z\cr &\kern{50pt}=\frac{1}{8}\int_0^{\frac{1}{2}} \log (1-z) \log (z)\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{1-z}\right)\text{d}z\cr &\kern{50pt}=\frac{1}{8}\int_0^1 \frac{\log (1-z) \log (z)}{z}\text{d}z=\frac{1}{8}\zeta(3)\cr &\text{Then we get the exact result:}\cr &\kern{50pt}\boxed{\large \color{#FF33cc}{\mathscr{I}=\int_0^{\pi/4}\frac{\log(\sin(x))\log(\cos(x))}{\sin(x)\cos(x)}\text{d}x=\frac{1}{8}\zeta(3)}} \end{aligned}$

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